Номер 71.
Познакомьтесь со старинной легендой об изобретении шахмат, которая напрямую связана с математикой.
Индийский правитель, желая отблагодарить мудреца – изобретателя шахмат, предложил ему самому выбрать себе награду. Мудрец попросил дать ему за первое поле доски одно пшеничное зерно, за второе – два, за третье – четыре и так далее: за каждое следующее – вдвое больше, чем за предыдущее.
Правитель был удивлён скромной просьбой мудреца. Однако вскоре придворные математики сообщили ему, что выполнить её невозможно. Оказалось, что это количество зёрен фантастически велико: оно записывается числом, содержащим 20 цифр. А общая масса зёрен составляет сотни миллиардов тонн.
Познакомьтесь с последовательностью чисел, «возникающей» согласно легенде на клетках шахматной доски. Для этого сначала изготовьте фрагмент шахматной доски: возьмите альбомный лист бумаги, расположите его горизонтально и начертите на нём первые три ряда клеток, сделав их как можно крупнее. Затем пронумеруйте клетки, двигаясь в каждом ряду слева направо, номер проставляйте в углу.
Впишите в каждую клетку, начиная с первой, число, обозначающее соответствующее количество зёрен, и ответьте на вопросы:
1) За какую по счёту клетку количество зёрен впервые превысит 1 тыс.? 100 тыс.? 1 млн? Превысит ли количество зёрен за 26-ю клетку 20 млн?
2) Сравните сумму зёрен за первые две клетки с количеством зёрен за 3-ю клетку; сумму зёрен за первые три клетки с количеством зёрен за 4-ю клетку. Можете ли вы без подсчётов сказать, что больше: количество зёрен за первые десять клеток или количество зёрен за 11-ю клетку – и на сколько?
3) Во сколько раз количество зёрен на 9-й клетке больше числа зёрен на 1-й клетке? на 10-й больше, чем на 2-й? на 11-й больше, чем на 3-й? Можете ли вы ответить на такой вопрос для любой пары «верхней» и «нижней» клеток, не выполняя вычислений?
1) 1 тыс. на 11 клетке
100 тыс. на 18 клетке
1 млн. на 21 клетке
Да, за 26 клетку превысит 20 млн.
2) 1 + 2 < 4 – количество зёрен за 3 клетку больше, чем за сумму первых двух клеток
1 + 2 + 3 < 8 - количество зёрен за 4 клетку больше, чем за сумму первых трёх клеток
Количество зёрен за 11-ю клетку больше, чем за первые десять клеток на 1.
1 023 < 1 024
3) 256 : 1 = 256 раз – количество зёрен на 9 клетке больше, чем на 1
512 : 2 = 256 раз - количество зёрен на 10 клетке больше, чем на 2
1 024 : 4 = 256 раз - количество зёрен на 11 клетке больше, чем на 3
Да, оно всегда будет больше в 256 раз.
