Алгебра 9 класс учебник Макарычев, Миндюк ответы – номер 881

$$\frac{(a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1)}{abc}$$ ≥ 27 – доказать при a, b, c > 0

a² + a + 1 = a² – 2a + 1 + 3a = (a – 1)² + 3a
т.к. (a – 1)² ≥ 0, то (a – 1)² + 3a ≥ 3a и a² + a + 1 ≥ 3a, тогда $$\frac{a^2 + a + 1}{a}$$ ≥ 3

b² + b + 1 = b² – 2b + 1 + 3b = (b – 1)² + 3b
т.к. (b – 1)² ≥ 0, то (b – 1)² + 3b ≥ 3b и b² + b + 1 ≥ 3b, тогда $$\frac{b^2 + b + 1}{b}$$ ≥ 3

c² + c + 1 = c² – 2c + 1 + 3c = (c – 1)² + 3c
т.к. (c – 1)² ≥ 0, то (c – 1)² + 3c ≥ 3c и c² + c + 1 ≥ 3c, тогда $$\frac{c^2 + c + 1}{c}$$ ≥ 3

$$\frac{(a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1)}{abc}$$ = $$\frac{a^2 + a + 1}{a}$$ + $$\frac{b^2 + b + 1}{b}$$ + $$\frac{c^2 + c + 1}{c}$$ ≥ 3 · 3 · 3

$$\frac{(a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1)}{abc}$$ ≥ 27 – доказано