Алгебра 9 класс учебник Макарычев, Миндюк ответы – номер 870

a₁, a₂, a₃, a₄ – арифметическая прогрессия
пусть a₄ – наибольший член прогрессии, тогда a₄ = a₁² + a₂² + a₃²

a₂ = a₁ + d
a₃ = a₁ + 2d
a₄ = a₁ + 3d
a₁ + 3d = a₁² + (a₁ + d)² + (a₁ + 2d)²
a₁ + 3d = a₁² + a₁² + 2a₁d + d² + a₁² + 4a₁d + 4d²
a₁ + 3d = 3a₁² + 6a₁d + 5d²
3a₁² + 6a₁d + 5d² – a₁ – 3d = 0
5d² + (6a² – 3)d + 3a²² = 0
D = (6a₁ – 3)² – 4 · 5 · 3a₁² = 36a₁² – 36a₁ + 9 – 60a₁² = –24a₁² – 36a₁ + 9
D ≥ 0
– 24a₁² – 36a₁ + 9 ≥ 0
8a₁² + 12a₁ – 3 ≤ 0
D = 12² – 4 · 8 · (–3) = 144 + 96 = 240

a₁ = $$\frac{-12 ± \sqrt{240}}{2 \cdot 8}$$ = $$\frac{-12 ± 4\sqrt{15}}{4}$$ = $$\frac{-3 ± \sqrt{15}}{4}$$

т.е. $$\frac{-3 - \sqrt{15}}{4}$$ ≤ a₁ ≤ $$\frac{-3 + \sqrt{15}}{4}$$

т.к. a₁ – целое число, то a₁ = –1
3a₁² + 6a₁d + 5d² – a₁ – 3d = 0
3 · (–1)² + 6 · (–1) · d + 5d² – (–1) – 3d = 0
3 – 6d + 5d² + 1 – 3d = 0
5d² – 9d + 4 = 0
D = (–9)² – 4 · 5 · 4 = 81 – 80 = 1

d = $$\frac{9 ± \sqrt{1}}{2 \cdot 5}$$ = $$\frac{9 ± 1}{10}$$

d₁ = 1, d₂ = 0,8 – не может быть решением задачи
a₂ = a₁ + d = –1 + 1 = 0
a₃ = a₁ + 2d = –1 + 2 · 1 = 1
a₄ = a₁ + 3d = –1 + 3 · 1 = 2

Ответ: –1; 0; 1; 2