Алгебра 9 класс учебник Макарычев, Миндюк ответы – номер 867

х_n = 1/(2n – 1)(2n + 1)

х_n = 1/(2n – 1)(2n + 1) = $$\frac{1}{4n^2 - 1}$$

х₁ = $$\frac{1}{4 · 1^2 - 1}$$ = 1/3

х₂ = $$\frac{1}{4 · 2^2 - 1}$$ = 1/15 = 1/3 · 5

х₂ = $$\frac{1}{4 · 3^2 - 1}$$ = 1/35 = 1/5 · 7

S₁ = 1/3

S₂ = 1/3 + 1/15 = 5 + 1/15 = 6/15 = 2/5

S₃ = 1/3 + 1/15 = 1/35 = 35 + 7 + 3/105 = 45/105 = 3/7

Предположение: S_n = n/2n + 1

Докажем методом математической индукции

1) n = 1 S₁ = 1/2 · 1 + 1 = 1/3 – верно

2) предположим, что утверждение верно при n = k, т.е. S_k = k/2k + 1

3) докажем, что утверждение верно при n = k + 1, т.е. S_{k + 1} = 1/3 = k + 1/2(k + 1) + 1 = k + 1/2k + 3

1/3 + 1/15 + ... + 1/(2k – 1)(2k + 1) + 1/(2k + 1)(2k + 3) = k/2k + 1 + 1/(2k + 1)(2k + 3) = k(2k + 3) + 1/(2k + 1)(2k + 3) = $$\frac{2k^2 + 3k + 1}{(2k + 1)(2k + 3)}$$

2k² + 3k + 1 = 0
D = 3² – 4 · 2 · 1 = 1

k = $$\frac{-3 ± \sqrt{1}}{2 \cdot 2}$$ = $$\frac{-3 ± 1}{4}$$

k₁ = –1, k₂ = –2/4 = –1/2

2k² + 3k + 1 = 2(k + 1)(k + 1/2) = (k + 1)(2k + 1)

$$\frac{2k^2 + 3k + 1}{(2k + 1)(2k + 3)}$$ = (k + 1)(2k + 1)/(2k + 1)(2k + 3) = k + 1/2k + 3 = S_{k + 1}

Утверждение доказано