Алгебра 9 класс учебник Макарычев, Миндюк ответы – номер 862

1/3 ≤ $$\frac{а^2 - a + 1}{a^2 + a + 1}$$ ≤ 3 – доказать

докажем, что $$\frac{а^2 - a + 1}{a^2 + a + 1}$$ ≤ 3

т.к. a² + a + 1 ≠ 0, то
a² – a + 1 ≤ 3(a² + a + 1)
a² – a + 1 ≤ 3a² + 3a + 3
3a² + 3a + 3 – a² + a – 1 ≥ 0
2a² + 4a + 2 ≥ 0
2(a² + 2a + 1) ≥ 0
2(a + 1)² ≥ 0 – верно при любом значении a

докажем, что $$\frac{а^2 - a + 1}{a^2 + a + 1}$$ ≤ 1/3

т.к. a² + a + 1 ≠ 0, то
3(a² – a + 1) ≥ a² + a + 1
3a² – 3a + 3 ≥ a² + a + 1
3a² – 3a + 3 – a² – a – 1 ≥ 0
2a² – 4a + 2 ≥ 0
2(a² – 2a + 1) ≥ 0
2(a – 1)² ≥ 0 – верно при любом значении а
Утверждение доказано