Алгебра 9 класс учебник Макарычев, Миндюк ответы – номер 643

a) т.к a_n : a₁; a₂; a₃; a₄ … – арифметическая прогрессия, то

a₂ = a₁ + d
a₄ = a₁ + 3d
a_2n = a₁ + (2n – 1)d

a₄ – a₂ = (a₁ + 3d) – (a₁ + d) = a₁ + 3d – a₁ – d = 2d

a_{2n + 2} – a_2n = (a₁ + (2n + 1)d) – (a₁ + (2n – 1)d) = a₁ + 2nd + d – a₁ – 2nd + d = 2d

т.е. последовательность а₂; a₄; …; a_2n; … является арифметической прогрессией

б) т.к. последовательность a_n : a₁; a₂; a₃; a₄; … – арифметическая прогрессия, то

a₂ = a₁ + d
a₃ = a₁ + 2d
a₁ = a₁ + (n – 1)d

(a₂ – 1) – (a₁ – 1) = (a₁ + 2d – 1) – (a₁ + d – 1) = a₁ + 2d – 1 – a₁ – d + 1 = d

(a_{n + 1} – 1) – (an – 1) = (a₁ + nd – 1) – (a₁ + (n – 1)d – 1) = a₁ + nd – 1 – a₁ – (n – 1)d + 1 = nd – 1 – nd + d + 1 = d

т.е. последовательность a₁ – 1; a₂ – 1; …; a_n – 1; … является арифметической прогрессией

в) т.к. a_n : a₁; a₂; a₃; a₄; … – арифметическая прогрессия, то

a₂ = a₁ + d
a₃ = a₁ + 2d
a_n = a₁ + (n – 1)d
2a₂ = 2(a₁ + d)

2a₂ – 2a₁ = 2(a₁ + d) – 2a₁ = 2a₁ + 2d – 2a₁ = 2d

2a_n = 2(a₁ + (n – 1)d)

2a_{n + 1} = 2(a₁ + nd)

2a_{n + 1} – 2a_n = 2(a₁ + nd) – 2(a₁ + (n – 1)d) = 2a₁ + 2nd – 2a₁ – 2nd + 2d = 2d

т.е. последовательность 2a₁; 2a₂; …; 2a_n; … является арифметической прогрессией

г) т.к. a_n : a₁; a₂; a₃; a₄ … - арифметическая прогрессия, то

a₂ = a₁ + d
a₃ = a₁ + 2a
a_n = a₁ + (n – 1)d

a₂² – a₁² = (a₁ + d)² – a₁² = a₁² + 2a₁d + d² + a₁² = 2a₁d + d²

a_n² = (a₁ + (n – 1)d)²

a_{n + 1}² = (a₁ + nd)²

a_{n + 1}² – a_n² = (a₁ + nd)² – (a₁ + (n – 1)d)² = a₁² + 2a₁nd + n²d² – (a₁² + 2a₁(n – 1)d + ((n – 1)d)² = a₁² + 2a₁nd + n²d² – a₁² – 2a₁nd + 2a₁d – n²d² + 2nd² + d² = 2a₁d + d²

т.е. последовательность a₁²; a₂²; …; a_n²; … является арифметической прогрессией