Алгебра 9 класс учебник Макарычев, Миндюк ответы – номер 636

u₁ = 1, u₂ = 1, u_{n + 2} = u_n + u_{n + 1} при n > 2

а) u₁ + u₃ + u₅ + … + u_{2n - 1} = u_2n – доказать

Пусть n = 1, тогда u₁ = u_{2 · 1} = u₂ = 1 – верно

Предположим, что утверждение верно при n = k, т.е.

u₁ + u₃ + u₅ + … + u_{2k - 1} = u_2k

Докажем, что утверждение верно и при n = k + 1

u₁ + u₃ + u₅ + … + u_{2k - 1} + u_{2k + 1} = u_{2(k + 1)}

u_2k + u_{2k + 1} = u_{2k + 2} = u_{2(k + 1)} – доказано

б) u₁² + u₂² + u₃² + … + u_n² = u_n · u_{n + 1} – доказать

Пусть n = 1, тогда u₁² = u₁ · u₂ = 1 – верно

Предположим, что утверждение верно при n = k, т.е.

u₁² + u₂² + u₃² + … + u_k² = u_k · u_{k + 1}

Докажем, что утверждение верно и при n = k + 1

u₁² + u₂² + u₃² + … + u_k² + u_{k + 1}² = u_{k + 1} · u_{k + 2}

u₁² + u₂² + u₃² + … + u_k² + u_{k + 1}² = u_k · u_{k + 1} + u_{k + 1}² = u_{k + 1}(u_k + u_{k + 1}) = u_{k + 1} · u_{k + 2} – верно