Алгебра 9 класс учебник Макарычев, Миндюк ответы – номер 630

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + n(n + 1) = 1/3n(n + 1)(n + 2)

n = 1
1 · 2 = 1/3 · 1(1 + 1)(1 + 2)
2 = 1/3 · 2 · 3
2 = 2 – верно

Предположим, что формула верна при n = k, т.е.
1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + … + k(k + 1) = 1/3k(k + 1)(k + 2)

Докажем, что она верна при любом натуральном n = k + 1

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + … + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = 1/3(k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2) = 1/3(k + 1)(k + 2)(k + 3)

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + … + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = 1/3k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(1/3k + 1) = 1/3(k + 1)(k + 2)(k + 3) - верно