Алгебра 9 класс учебник Макарычев, Миндюк ответы – номер 629

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = $$\frac{n^2(n + 1)^2}{4}$$

n = 1
1³ = $$\frac{1^3(1 + 1)^2}{4}$$
1 = 1 · 4/4
1 = 1 – верно

n = 2
1³ + 2³ = $$\frac{2^2(2 + 1)^2}{4}$$
1 + 8 = 4 · 9/4
9 = 9 – верно

n = 3
1³ + 2³ + 3³ = $$\frac{3^2(3 + 1)^2}{4}$$
1 + 8 + 27 = 9 · 16/4
36 = 36 – верно

Предположим, что формула верна при n = k, т.е.
1³ + 2³ + 3³ + ... k³ = $$\frac{k^2(k + 1)^2}{4}$$

Докажем, что она верна при любом натуральном n = k + 1

1³ + 2³ + 3³ + ... k³ + (k + 1)³ = $$\frac{(k + 1)^2(k + 1 + 1)^2}{4}$$ = $$\frac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4}$$

1³ + 2³ + 3³ + ... k³ + (k + 1)³ = $$\frac{k^2(k + 1)^2}{4}$$ + (k + 1)³ = $$\frac{k^2(k + 1)^2 + 4(k + 1)^3}{4}$$ = $$\frac{(k + 1)^2 (k^2 + 4(k + 1))}{4}$$ = $$\frac{(k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4)}{4}$$ = $$\frac{(k + 1)^2 (k + 2)^2}{4}$$ – верно