Алгебра 9 класс учебник Макарычев, Миндюк ответы – номер 337

31/4(а + 1/а) = а³ + (1/а)³

31/4(а + 1/а) = а³ + $$\frac{1}{а^3}$$

а ≠ 0

По условию задачи а + 1/а – положительное число

Пусть t = а + 1/а

t³ = (а + 1/а)³ = а³ + 3а² · 1/а + 3а · (1/а)² + (1/а)³

t³ = а³ + 3а + 3 · 1/а + $$\frac{1}{а^3}$$

t³ = а³ + 3а + 3 (а + 1/а) + $$\frac{1}{а^3}$$

t³ = а³ + 3 · t + $$\frac{1}{а^3}$$

а³ + $$\frac{1}{а^3}$$ = t³ – 3t

31/4t = t³ – 3t

t³ – 3t – 31/4t = 0

t³ – 61/4t = 0

t³ – 25/4t = 0

t(t³ – 25/4) = 0

t(t – 5/2)(t + 5/2) = 0

t(t – 2,5)(t + 2,5) = 0

t = 0
a + 1/а = 0
a² + 1 = 0
a² = –1
нет корней

или
t – 2,5 = 0
a + 1/а = 2,5
a² + 1 = 2,5a
a² – 2,5 + 1 = 0

D = (–2,5)² – 4 · 1 · 1 = 2,25

a = $$\frac{2,5 ± \sqrt{2,5}}{2 \cdot 1}$$ = 2,5 ± 1,5/2

a₁ = 2, a₂ = 0,5

или
t + 2,5 = 0
a + 1/а = –2,5
нет решений

Ответ: 2; 0,5