Алгебра 8 класс учебник Макарычев, Миндюк ответы – номер 892

Учебник по алгебре 8 класс. Авторы: Макарычев, Миндюк, Нешков.

Тип: ГДЗ, Решебник.
Авторы: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.
Часть: без частей.
Год: 2019-2024.

Серия: Школа России (ФГОС).
Издательство: Просвещение.

Автор

Материал подготовила:

Екатерина Шамрай

Отличается задание? Переключите год учебника.

2019 2024

Номер 892.

Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 верно неравенство:

а) (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc
б) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)/16 ≥ abc
1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и среднем геометрическим положительных чисел a и b.

Ответ:

а) $$\sqrt{ab}$$ ≤ a + b/2, a + b ≥ 2$$\sqrt{ab}$$ $$\sqrt{ac}$$ ≤ a + c/2, a + c ≥ 2$$\sqrt{ac}$$ $$\sqrt{bc}$$ ≤ b + c/2, b + c ≥ 2$$\sqrt{bc}$$ (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 2$$\sqrt{ab}$$ · 2$$\sqrt{bc}$$ · 2$$\sqrt{ac}$$ (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8$$\sqrt{aabbcc}$$ (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc Доказано
б) $$\sqrt{a · 1}$$ ≤ a + 1/2, a + 1 ≥ 2$$\sqrt{a}$$ $$\sqrt{b · 1}$$ ≤ b + 1/2, b + 1 ≥ 2$$\sqrt{b}$$ $$\sqrt{ac}$$ ≤ a + c/2, a + c ≥ 2$$\sqrt{ac}$$ $$\sqrt{bc}$$ ≤ b + c/2, b + c ≥ 2$$\sqrt{bc}$$ (a + 1)(b + 1)(b + c)(a + c)/16 ≥ abc (a + 1)(b + 1)(b + c)(a + c)/16 ≥ $$ \frac{2 \sqrt{a} · 2 \sqrt{b} · 2 \sqrt{a c} · 2 \sqrt{b c}}{16} $$ (a + 1)(b + 1)(b + c)(a + c)/16 ≥ $$ \frac{16 \sqrt{a a b b c c}}{16} $$ (a + 1)(b + 1)(b + c)(a + c)/16 ≥ 16abc/16 (a + 1)(b + 1)(b + c)(a + c)/16 ≥ abc Доказано